Oui, la mise en demeure fait courir les intérêts de retard. C'est justement l'un de ses effets prévus par le Code civil.
Les articles 1344 et suivants du Code civil attachent à la mise en demeure le point de départ des intérêts dus par le débiteur. Formaliser cette étape par lettre recommandée avec accusé de réception sécurise la date et prépare une éventuelle injonction de payer devant le tribunal, encadrée par les articles 1405 à 1425 du Code de procédure civile.
Un carreleur attend le paiement d'une facture depuis deux mois. Il envoie une mise en demeure : à partir de cette réception, les intérêts de retard commencent à courir, ce qu'il rappelle ensuite dans sa requête au tribunal.